性质：

　　（1）函(hán)数f(x)与(yǔ)它的反函(hán)数f-1(x)图象(xiàng)关(guān)于直线y=x对称(chēng)；

　　（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定(dìng)义(yì)域与值域是一一映射(shè)；

　　（3）一个函(hán)数与(yǔ)它的反(fǎn)函数在相应区间上单调性一(yī)致(zhì)；

　　（4）大部分偶函数不存在(zài)反函(hán)数（当(dāng)函数y=f(x)， 定义域(yù)是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是(shì)偶函(hán)数且有(yǒu)反函数，其反函数的定(dìng)义(yì)域是{C}，值域为{0} ）。

　　奇函数不一定存在反函(hán)数(shù)，被与y轴垂(chuí)直的(de)直线截时能过2个及以上点即没有反函数。

　　腔(qiāng)神若一个奇函数存(cún)在反函数，则它的反函数也是奇森(sēn)圆(yuán)穗(suì)函(hán)数。

　　（5）一段连(lián)续的函数的单调(diào)性在对应区(qū)间内具有一致性；

　　（6）严(yán)增（减(jiǎn)）的函数一(yī)定(dìng)有严格增（减）的(de)反函数；

　　（7）反函数是相互的且具有(yǒu)唯一性；

　　（8）定义域、值域相反对(duì)应法则互逆（三反）；

　　（9）反函数的(de)导数关系：如果x=f(y)在开区(qū)间(jiān)I上(shàng)严(yán)格单调，可导(dǎo)，且f(y)≠0，那么(me)它(tā)的(de)反(fǎn)函(hán)数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导，且：

　　（10）y=x的反函数是(shì)它(tā)本身。

　　扩此卜展资料(liào)：

　　反函数定义(yì)：

　　设函数y=f(x)的定义域是(shì)D，值域(yù)是f(D)。

　　如果对于值域f(D)中(zhōng)的每(měi)一个y，在D中有(yǒu)且只(zhǐ)有一个x使(shǐ)得f(x)=y，则按此对应法则(zé)得到(dào)了一个定义在f(D)上(shàng)的(de)函(hán)数。

　　并把(bǎ)该(gāi)函数(shù)称为函数y=f(x)的反函数，记为由该定义可以很快(kuài)得出函数f的定义域D和(hé)值域f(D)恰好就是反函数f-1的值(zhí)域和定义域(yù)，并且f-1的(de)反函(hán)数(shù)就是(shì)f，也就是说，函(hán)数f和f-1互为反函(hán)数，即：

　　反函数(shù)与(yǔ)原函数的复(fù)合(hé)函(hán)数等于x，即：

　　习惯上(shàng)我(wǒ)们用x来表示自变量，用(yòng)y来表示(shì)因变量(liàng)，于是函数y=f(x)的反函数通常写成(chéng)

　　 。

　　例(lì)如，函数  

　　的反(fǎn)函(hán)数是  。

　　相(xiāng)对于反函(hán)数y=f-1(x)来说，原来的(de)函数y=f(x)称为直接函数。

　　反函数和(hé)直接(jiē)函(hán)数的图像关于直线y=x对称。

　　这是因为，如果设(shè)(a,b)是y=f(x)的图像上任意一点，即b=f(a)。

　　根据反函数的定(dìng)义，有a=f-1(b)，即(jí)点(b,a)在(zài)反(fǎn)函数y=f-1(x)的图像上。

　　而点(a,b)和(b,a)关于直线y=x对(duì)称(chēng)，由(a,b)的任意性可知f和f-1关于y=x对称。

　　于是我们(men)可以知道(dào)，如果两个函(hán)数的图像关于y=x对称(chēng)，那么这两个函数(shù)互为(wèi)反函数。

　　这也可以看做(zuò)是反函数的一个几何定(dìng)义。

　　在(zài)微积分(fēn)里，f (n)(x)是用来指f的n次(cì)微分的。

　　若一(yī)函数有反(fǎn)函数，此函数便称为可逆的(de)（invertible）。

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